Թերի քառակուսային հավասարումներ

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ՝

Առաջադրանքներ․

1)Լուծեք հավասարումը․

3(x²-1)=0

x=1

x=-1

x(x-1)=0

x=1

x=0

(x+3)x=0

x=-3

x=0

(x-3)(x+2)=0

x=-2

x=3

0,8(x+1)(x-4)=0

x=-1

x=4

2)Լուծեք հավասարումը․

x²-4x=0

x=0

x=4

x²+6x=0

x=-6

x=0

3x²+x=0

x=-1/3

x=0

2x+3x²=0

x=-2\3

x=0

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Լուծեք հավասարումը․

2x² =0

x=0

(x+5)(x-7)=0

x=-5

x=7

3x(x-0,5)=0

x=0

x=1\2

0,5x(2+x)=0

x=-2

x=0

3(x-8)(5+x)=0

x=-5

x=8

2)Լուծեք հավասարումը․

x²-2x=0

x=0

x=2

7x²=5x

x=0

x=5/7

3x=11x²

x=0

x=3/11

x²-0,5x=0

x=0

x=1/2

1/2x²-3x=0

x=0

x=6

Քառակուսային հավասարում

Առաջադրանքներ․

ա) 45

բ) 21

գ) 0

դ) -3

ա) (-1)

բ) (1)

գ

դ

ե

զ

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Քառակուսային եռանդամ.

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝

x²+2x−5,4x²−3x+1,x²+3x,2x²−8,7x² բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x² -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac,որն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax²+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների:

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների:

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c=a⋅(x−x₁)(x−x₂),

որտեղ՝

x₁=(−b+√D)/2a

x₂=(−b-√D)/2a

Օրինակ`

1)Վերլուծենք արտադրիչների 2x²−3x+1 եռանդամը:

Հաշվենք D=b²−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)²−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝

x₁=(3+√1)/2⋅2=1

x₂=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝

2x²−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x²+6x+9 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=6²−4⋅1⋅9=36−36=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x²+6x+9=x²+2⋅x⋅3+3²=(x+3)²=(x+3)(x+3)

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x²+2x+6 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=2²−4⋅1⋅6=4−24=−20<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

Առաջադրանքներ․

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

ա) x²-4x+3=(x-3)(x-1)

բ) x²-4x+4=(x+2)

գ) ∅

դ)

ե)

զ)

ա) 3x²+4x+5=0

բ) 3x²-2x+6=0

գ)x²-x+2=0

դ)-x²+3x-2=0

ա) 1

բ) 1

գ) ∅

դ) 1

ե) ∅

զ)

է)

ը)

թ)

Իռացիոնալ անհավասարումներ

Եթե անհավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա  այդպիսի անհավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:

Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:

1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:

2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a²

Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:

1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:

Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a²

Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:

√x≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, լուծում չկա:

2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a²]

√x≥a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա x∈[a²;+∞)

Օրինակ

Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:

1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0

2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)²²

3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝

4) Լուծենք ստացված համակարգը՝

5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)

Առաջադրանքներ․

1)Լուծեք հետևյալ անհավասարումները․

ա) Ø

բ) (-∞;9)

գ) (16;∞)

դ) (25;∞)

2)Լուծեք անհավասարումները․

ա)

∅

բ)

∅

գ)

∅

դ)

(-11/12;-∞)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Լուծեք հետևյալ անհավասարումները․

2)Լուծեք անհավասարումները․

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ։ Իռացիոնալ հավասարումներ

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

ա) x=0
բ) x=4/3
գ) x=13/7
դ) x=6
ե) x=-1/2
զ) x=-2

ա) x=-1
բ) x=1
գ) x=-2/3
դ) x=1

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Մարտ ամսվա ֆլեշմոբի խնդիրներ․

Ընտրի՛ր քեզ հետաքրքրող տարբերակը, լուծի՛ր խնդիրները և պատասխանները լրացրո՛ւ համապատասխան տեղում: Վերջում չմոռանաս սեղմել ներքևի կապույտ կոճակը:

I մակարդակ
II մակարդակ
III մակարդակ
IV մակարդակ
Սովորողներն են առաջակում

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ։ Իռացիոնալ հավասարումներ

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ՝

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝

(√2x−5)²=(√4x−7)²

2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ x-ի  փոխարեն տեղադրենք 1, կստանանք՝  √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունեն:

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատները:

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Օրինակ՝

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4

5x=20

x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Առաջադրանքներ․

Լուծել հավասարումները․

ա)3x-1=0

բ)4x+5=4

4x=-1

x=-1/4

գ) 7-3x=1

3x=-6

x=-2

դ) -x-1=9

-x=9+1

x=-10

ե) -4+5x=4

5x=4+4

x=1,6

զ) -x=1/4

x=-1/4

x-1=4

x=4+1

x=5

3x-1=4

3x=5

x=5/3

x-2=2-x

x+x=2+2

2x=4

x=2

5x-1=3x+19

5x-3x=19+1

2x=20

x=10

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Լուծեք հավասարումները․

ա) x=9

բ) x=0

գ) Ø

դ) x=1/2

ե) x=1/2

զ) x=-1

է) x=44/3

ը) x=48/5

թ) x=7

Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները

1)Հայտարարում ազատվեք արմատանշանից․

ա)2 բ)9 գ)1 դ)3 ե)8 զ)1 է)35/5 ը)6/2

2)Թվերը դասավորեք աճման կարգով․

ա)1/2, 3√3, √30, √32, 5√2, √72

բ)0,2√48, 0,9√3, √3, √12

3)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը․

ա)5√2 բ)√2 գ)-4√a դ)√x(a-3) ե)√a զ)-√2

4)Աստիճան բարձրացրեք․

ա)a+2√ab+b բ)a²-2ab√x+b²x գ)5+2√6

դ)5-2√6 ե)19+6√2 զ)49-8√3

Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվե՛ք․

ա)√8
բ)√15
գ)√30
դ)√70
ե)√20
զ)√900
է)√800
ը)√5000

2)Արտադրիչը տարեք արմատանշանի տակ․

3)Արտահայտությունը ձևափոխեք այնպես, որ արմատանշանի տակ լինի ամբողջ թիվ․

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Հաշվե՛ք․

2)Արտադրիչը դուրս բերեք արմատանշանի տակից․

3)Համեմատեք թվերը․

Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները

Օրինակ՝

Հաշվենք արմատների հետևյալ արտադրյալը՝

Պատասխան՝ 8

Ակնհայտ է, որ առանձին 2 և 32 թվերից արմատները չէին հանվում, իսկ արտադրյալից՝ հաջողվեց:

Նման կերպ ենք վարվում, երբ չի հաջողվում առանձին հաշվել արմատների հարաբերությունը:

Օրինակ՝

Հաշվենք արմատների հարաբերությունը:

Լինում են իրավիճակներ, երբ թիվը քառակուսի բարձրացնելուց հետո, պահանջվում է արդյունքից արմատ հանել:

Այս դեպքերում կարիք չկա առանձին կատարել երկու գործողությունները՝ պատասխանը միանգամից ստացվում է երրորդ հատկության միջոցով:

Օրինակ՝

Այդպես ենք վարվում հետևյալ օրինակներում՝

Առաջադրանքներ․

1)

ա)4
բ)3,1
գ)1
դ)5
ե)1,13
զ)7,2
է)0,3
ը)57,1

2)Արտադրիչը հանեք արմատանշանի տակից։

ա) √12=√3×4=√3x√4=2√3
բ)√18=√2×9=√2x√9=3√2
գ)√20=4×5=√4x√5=2√5
դ)√24=√4×6=√4x√6=2√6
ե)√27=√3×9=√3x√9=3√3
է)√28=√4×7=√4x√7=2√7
զ)√32=√16×2=√16x√2=4√2
ը)√45=√5×9=√5x√9=3√5
թ)√50=√2×25=√2x√25=5√2
ժ)√72=√36×2=6√2

ա)4
բ)x
գ)m
դ)p
ե)√a²x√b²=axb
զ)√m²x√4n²=mx4n
է)√x4x√y²=x²xy
ը)√9p²x√q^4=3pq²
թ)√25a²xb²=5ab
ժ)√16x x3)4y²=4√x x y
է)7√pg³a^5

3)Հաշվե՛ք․

ա) 20
բ)18
գ)30
դ)48
ե)220
զ)105
է)210
ը)630
թ)154

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Հաշվե՛ք․

ա) 1/2
բ)1/3
գ)1 1/5
դ)2 1/3

ա)6
բ)12
գ)20
դ)35
ե)90
զ)720

3)Ապացուցեք, որ տրված արտահայտության արժեքը ռացիոնալ թիվ է․

ա) 1
բ)2
գ)2
դ)1

Մեկ անհայտով գծային անհավասարումների համախմբեր

Անհավասարումների համախումբը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից:

Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համախմբի անհավասարումներից գոնե մեկը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համախմբի լուծումներ:

Գծային անհավասարումների համախումբը լուծելու համար, պետք է լուծել համախմբի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների միավորումը: Դա էլ հենց կլինի համախմբի բոլոր լուծումների բազմությունը:

Օրինակ.

Լուծենք հետևյալ համախումբը՝

1. Լուծելով առաջին անհավասարումը, ստանում ենք՝

2x>4

x>2

2. Լուծելով երկրորդ անհավասարումը, ստանում ենք՝

3x<13

x<13/3

3. Ստացված միջակայքերը նշենք թվային առանցքի վրա:

Տվյալ համախմբի լուծումը կլինի․ (−∞;2)U(2;13/3)U(13/3;+∞):

Առաջադրանքներ․

Լուծի՛ր անհավասարումների համախումբը.

1.

(-∞;12)

2.

(-∞;29,4)

3.

(-∞;-4)υ(3;+∞)

4.

(-∞;-4)υ(3;+∞)

5.

(-∞;2)

6.

(7/11;+∞)